英心うえの塾の中村です。

数学の授業を4時間。長いと思いますか？

2026年10月24日、英心うえの塾高校部「理数適塾」で、野田亮太先生による特別講義を開催しました。テーマは、「場合の数・確率」です。

講義後、生徒たちの感想にあったのは、こんな言葉でした。

「4時間の授業は初めてだったが、体感は大分早く感じた。それだけ密のあるものだった。」

「4時間が短く感じました。」

私自身も、あっという間の4時間でした。

難しい問題に向き合い、新しい考え方を知り、自分で手を動かす。その積み重ねの先に、「なるほど、そう考えるのか！」がある授業でした。

数え方の基本から、反復試行の確率まで

今回の講義には、明確なゴールがありました。

場合の数の考え方を積み上げ、反復試行の確率までたどり着くこと。

そのために必要な個数の数え方から始まり、4時間かけて一気に進んでいきます。どこへ向かうのか、そのために何を身につけるのかが、はっきりしている授業でした。

確率では、公式を知っていても、問題を前にすると手が止まることがあります。

「これは順列？　組合せ？」「何を数えればいい？」「試行回数が n 回になったら、どう考える？」

そうした迷いに対して、数え方や整理の仕方から向き合っていく。その価値が、生徒たちの感想にも表れていました。

そもそも「場合の数・確率」は、何を学ぶ分野？

数学が専門でない保護者の方には、「さいころやカードの問題を解く分野」というイメージがあるかもしれません。

「場合の数」は、条件に合う可能性を、漏れなく、重複なく数えること。「確率」は、ある出来事がどのくらい起こりやすいかを、数で捉えることです。

例えば、3人を一列に並べる場合と、3人から2人を選ぶ場合。同じ人を扱っていても、「並ぶ順番を区別するかどうか」で数え方が変わります。

公式を知っているだけでは、「この問題では何を区別し、何を同じと考えるのか」という判断ができないことがあります。だからこそ、数え方そのものを理解することが大切なのです。

※ここでの3人の例は、分野の特徴を説明するための例です。

板書と感想から見えてくる、今回の授業の価値

今回の板書と生徒の感想を合わせて見ると、知識を増やすだけでなく、複雑な問題を自分で整理して考えるための学びがあったことが伝わってきます。

① 公式が、意味のある数え方につながる

生徒の感想には、「階乗がどうしてそうなるのか理解できた」「別物に感じていた式がつながった」という声がありました。

階乗とは、例えば「4×3×2×1」のような掛け算のこと。4人を一列に並べるなら、最初の場所に入る人は4通り、次は残り3通り、その次は2通り、最後は1通り。式には、こんな数え方の意味があります。

組合せでも、並ぶ順番を区別しないなら、同じ組を何度も数えていないかを考えます。記号を覚えることと、その記号が何を数えているかを理解することは違います。感想からは、後者への手応えが読み取れます。

② 全部を書き出せない問題を、整理して扱えるようになる

さいころを1回振ると、出る目は6通り。2回なら36通り、3回なら216通りです。10回になると、出る目の並びは60,466,176通りにもなります。

全部を書き出して調べる方法には、限界があります。

そこで必要になるのが、表にする、並べ方を工夫する、共通する条件でまとめるという考え方です。生徒の感想にあった「3次元の表」「横に並べるやり方」は、まさに問題を整理する方法を学んだことを示しています。

そして、最後の板書には「n 回」が登場します。回数が2回、3回と決まった問題から、回数が変わっても使える考え方へと進んでいるのです。

③ 正面から難しいなら、反対側から考える

最後の板書には、「出る目の最大公約数が1」と「余事象」という言葉が見えます。板書からは、さいころの出目について、最大公約数が1になる確率を、反対の条件から考えていると読み取れます。

最大公約数は、いくつかの数を共通に割り切れる、いちばん大きな数です。例えば2と3なら1、2と4なら2です。

「最大公約数が1になる場合」を直接数えるのが大変なら、「1にならない場合」を調べ、全体から除く。これが余事象を使う考え方です。

板書では、すべて偶数になる場合や、すべて3の倍数になる場合などを整理しています。同じ場合を二重に数えないように調整することも必要です。

数え方、条件の整理、繰り返す試行、余事象。別々に習うとばらばらに見える考え方が、一つの問題を解くためにつながっている。これが、最後の板書から見える到達点です。

もちろん、これらを一度の授業で全員が完全に使いこなせた、という意味ではありません。それでも、「どう考えればよいか」が見えた経験は、これからの演習の土台になります。

テキストはありません。学びが一冊のノートに残ります

今回の授業には、配布されたテキストがありません。生徒たちが使うのは、自分のノートです。

先生が黒板に書いた問題を解く。考え方を聞く。大切なことをメモする。そして、次の問題に取り組む。

そうして、自分が学んだことが、一冊のノートに収まっていきます。

「どのように整理すると考えやすいのか」「どこで迷い、何がわかったのか」「次に同じような問題を見たら、どう考えるのか」。そんな学びの過程まで残せるのが、ノートの良さです。

授業が進むにつれて、自分のための教材ができあがっていく。

魔法のようでもあり、実際には一問ずつ考え、書き、理解を積み重ねていく授業でした。

最後の板書が伝える、4時間の到達点

講義の最後に残った板書。数え方の基本から始まり、最後には n 回の試行を扱う確率の問題へ。積み上げた考え方が、ここにつながります。

最後の黒板には、出た目の最大公約数や余事象を使って考える内容が残っていました。

初めて見ると、難しく感じるかもしれません。でも、この板書だけが突然出てきたわけではありません。そこへ向かうための考え方を、一つひとつ積み上げてきたのです。

「n 回の問題が苦手だったけれど、ていねいに考えていけば意外とむずかしくないなと思うことができました。」

苦手だった問題に対して、「考えていけば、できるかもしれない」と思える。これは、次の一問に向かう力になります。

生徒たちが持ち帰ったもの

※氏名・学校名・志望校などを伏せ、感想の一部を抜粋しています。

「基礎が整っていれば、解き方が見えてくる」

「学校でまだ習っていなかったので最初についていけるか不安だったけど、理解できたのでよかったです。難易度が上がるとつまずくこともあったけど、解き方は基礎が整っていれば見えてくることが分かりました。」

問題が難しくなると、特別な解き方が必要に思えることがあります。そこで、基礎とのつながりに気づけたこと。この実感は、これから数学を勉強するうえでも大切にしてほしいですね。

「知っているつもり」の先に、新しい考え方があった

「確率はきちんと勉強していたつもりだったけれど、3次元の表や横に並べるやり方など、新しい考え方を知れてよかったです。」

一度勉強した単元でも、別の整理の仕方を知ると、問題の見え方が変わります。「習ったことがある」からこそ、これまでの自分の考え方と比べながら学べることもあります。

ばらばらだった知識が、つながった

「新たなやり方を教わり、同じものであったことに気づいたので、これからは自信をもって解答を始められそうだ。」

この生徒は、組合せの記号や階乗を使った式を、それぞれ別物のように感じていたそうです。それが授業を通してつながった。

「どの公式だろう」と迷っていたところから、「まずこう考えよう」と答案を書き始められるようになる。数学では、こうした変化が大きいのだと思います。

難しかった。それでも、新しいものを持ち帰った

もちろん、全員がすべてを簡単に理解できたわけではありません。

「最初からずっと難しくて追いつけなかったけど、新しい内容や、自分では絶対にしない考え方を知れてよかったです。」

この感想も、大切にしたいと思います。難しかったことを正直に受け止めながら、それでも新しい考え方を見つけている。

今回わからなかったところは、ノートを見返し、学校での学習やこれからの演習とつなげながら、少しずつ自分のものにしていけばよいのです。

「もう一度解けるようにしたい」

「復習をして、同じ問題やこれを応用した問題がでてもとけるようにしたいです。」

授業を受けて終わりではなく、次の行動まで考えてくれていることがうれしいですね。そのほかにも、階乗の意味、さいころが複数ある問題の整理、組合せの使い方、余事象の考え方などについて、「わかった」という感想が寄せられました。

野田亮太先生について

野田亮太先生の授業風景（今回の特別講義とは別の写真です）。

野田先生は、大学在学中から学習教材の制作・販売に携わり、その後、予備校での数学指導や進学塾の設立・運営、教員研修、講演など、幅広く教育に関わってこられました。

岡山進學舎やNaseva進学予備校の設立にも携わり、授業づくりと学習支援の両面で経験を重ねてこられた先生です。

今回、ほとんどの生徒にとって、野田先生の授業は初めてでした。受講生からは、こんな声もありました。

「ポジティブな言葉をかけてくださり、楽しく授業に参加できたし、勉強のモチベーションがあがりました。また機会があれば野田先生の授業を受けたいです。」

難しい内容に挑戦する時間を、前向きな気持ちで過ごせたことも、今回の講義の大きな価値だったと感じています。

今日のノートを、次に解ける力へ

4時間、集中して学んだ皆さん。お疲れさまでした。ぜひ、今日のノートをもう一度開いてみてください。

おすすめは、解き方を隠して、一問、自分の力で解いてみること。

授業中に「わかった」と思ったことが、次には「自分でできる」に変わっていきます。

「4時間があっという間だった」

そんな時間の中で見つけた考え方や手応えを、これからの数学につなげてほしいと思います。

野田先生、充実した4時間をありがとうございました！